Решение задач на смеси и сплавы
с помощью схем и таблиц

Задачи на смеси и сплавы вызывают наибольшие затруднения у школьников. В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.

1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.

3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.

4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества m(в-ва) равна произведению массы раствора m(р-ра) на массовую долю:

m(в-ва) = m(р-ра)•.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Задача 1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?

Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты. Составим таблицу:

Составим и решим уравнение:

0,01ах + 0,01by = 0,01c(x + y),

(b – с)у = (с – а)х,

x : у = (b – с) : (с – а).

Воспользуемся диагональной схемой*:

В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация кислоты в процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности (b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс растворов а и b.

Задача 2. Сколько по массе 90%-го и 60%-го растворов фосфорной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-го раствора фосфорной кислоты?

Решение

Составим диагональную схему:

Получаем:

х : у = 20 : 10 = 2 : 1.

Значит, 90%-го раствора фосфорной кислоты надо взять в 2 раза больше, чем 60%-го, т.е. х = 2y.

Составим уравнение: 2y + y = 5,4.

Отсюда y = 1,8 кг.

Ответ. 3,6 кг 90%-го и 1,8 кг 60%-го
растворов фосфорной кислоты.

Задача 3. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Решение

Пусть проба сплава равна х.

Составим диагональную схему:

Получаем:

(864 – х) : (х – 600) = 75 : 150 = 1 : 2;

1728 – 2х = х – 600; х = 776.

Ответ. Получили сплав 776-й пробы.

Задача 4. Смешали некоторые количества 72%-го и 58%-го растворов кислоты, в результате получили 62%-й раствор той же кислоты. Если бы каждого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25%-й раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси?

Решение

Дважды используем диагональную схему:

Получаем:

х : у = 4 : 10 = 2 : 5.

Получаем:

(х + 15) : (y + 15) = 5,25 : 8,75 = 3 : 5.

Составим систему уравнений и решим ее:

Ответ. В первой смеси было 12 л 72%-го раствора
и 30 л 58%-го раствора.

Задача 5. Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно получить из 200 г 70%-го раствора спирта?

Решение

9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя его водой. В воде 0% спирта. Применим диагональную схему:

Получаем:

х : у = 63 : 9 = 7 : 1.

Значит, 1 часть 70%-го раствора спирта надо разбавить 7 частями воды. Поэтому 200 г 70%-го раствора спирта надо разбавить 200•7 = 1400 г воды.

Всего получим: 200 + 1400 = 1600 г 9%-го раствора спирта.

Ответ. Из 200 г 70%-го раствора спирта можно
получить 1 кг 600 г 9%-го раствора спирта.

Задача 6. Имеются три смеси (I–III), составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в массовом отношении 1 : 2, во вторую смесь входят только элементы В и С в массовом отношении 1 : 3, в третью смесь входят только элементы А и С в массовом отношении 2 : 1. В каком соотношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в массовом отношении 11 : 3 : 8?

Решение

Для решения задачи составим схему 1:

Схема 1

По условию задачи в полученной смеси соотношение масс А : В : С = 11 : 3 : 8. Поэтому

Составим систему уравнений и решим ее:

Пусть = а, = b, тогда система примет вид:

Значит,

х : z = 1 : 5 = 3 : 15, х : у = 3 : 4,

поэтому

х : у : z = 3 : 4 : 15.

Ответ. Чтобы элементы А, В и С содержались
в массовом отношении 11 : 3 : 8, смеси I, II, III
надо взять в соотношении 3 : 4 : 15 по массе.

Задача 7. Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве.

Решение

Пусть во втором сплаве массовая доля никеля равна x, а железа – у. Для решения задачи составим схему 2.

Исходя из схемы 2, составим и решим систему уравнений:

Схема 2

Во втором сплаве массовая доля никеля равна 0,4, т.е. 40%.

Ответ. 40%.

Задача 8. Значения процентного содержания (по объему) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в объемном отношении 2 : 3 : 4, то получится 32%-й раствор спирта. Если смешать их в объемном отношении
3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Решение

Пусть в первом растворе х% спирта, во втором – у%, в третьем – z%. Согласно условию задачи процентное содержание спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию, потому справедливо уравнение:

у₂ = xz.   (1)

На основании данных задачи составим таблицы и математические выражения.

Таблица 1

Смешивание трех растворов в объемном отношении 2 : 3 : 4

2х/100 + 3y/100 + 4z/100 = 288/100,

2х + 3y + 4z = 288.          (2)

Таблица 2

Смешивание трех растворов в объемном отношении 3 : 2 : 1

3х/100 + 2y/100 + z/100 = 132/100,

3х + 2y + z = 132.             (3)

Составим и решим систему из трех уравнений (1–3):

При z₁ = 48, x = 1₂, y = 24;

при z₂ = 100, x = 64, y = –80, решение не имеет смысла.

Ответ. В первом растворе 12% спирта,
во втором – 24%, в третьем – 48%.

* При решении задач на смешивание растворов разных концентраций автор использует диагональные схемы («правило креста»). На диагональной схеме в точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. Например, далее в задаче 2 – это 80%. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:

Из этой схемы следует, что, например, для приготовления 30 г 80%-го раствора H₃PO₄ требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты. (Прим. ред.)

Т.Н.Епифанова,
учитель химии
школы № 1954 (Москва)