Развитие представлений
о самоорганизации
в неравновесных системах

Введение времени в галилеевскую механику ознаменовало рождение новой науки – динамики. Классическая динамика достигла огромных успехов в решении задач вычисления траекторий движения. Сфера ее применений значительно расширилась после того, как были сформулированы теория квантовой механики и теория относительности. Основные законы физики, в которые входит время, инвариантны относительно изменения его знака, т. е. нет никакого различия между прошлым и будущим. Иными словами, динамика допускает движение во времени как вперед, так и назад. Однако процессы эволюции, связанные с рождением, развитием и гибелью систем различной природы, нельзя математически описать без непосредственного введения направления течения времени. Закон Фурье стал первым примером описания самопроизвольного необратимого, т. е. текущего только в одном направлении, процесса.

Прошлое и будущее в уравнениях физики

В 1811 г. префект города Осера барон Жан Батист Фурье был удостоен премии Французской академии наук за предложенное им математическое описание распространения теплоты внутри твердого тела. Закон теплопроводности, установленный Фурье, был удивительно прост: поток теплоты пропорционален градиенту¹ температуры. Замечательно, что столь простой закон оказался применимым к веществам в твердом, жидком и газообразном состояниях; кроме того, он не зависел от химического состава тела. Для каждого вещества характерен только коэффициент пропорциональности между плотностью теплового потока и градиентом температуры.

Когда теплота (тогда считали – «теплород») «течет» по закону Фурье от области с более высокой температурой к области с более низкой (и никогда наоборот), возникает выделенное направление времени.

Р.Ю.Клаузиус (1822–1888)

Различие между обратимыми и необратимыми процессами с помощью введения понятия энтропии отражает второе начало термодинамики. Энтропию ввел в науку в 1865 г. немецкий ученый Рудольф Клаузиус. В переводе с греческого этот термин означает «поворот, превращение, преобразование». «Я специально так подобрал слово “энтропия”, чтобы оно было созвучно со словом “энергия”, так как эти две величины настолько сходны по своему физическому значению, что созвучие их названий мне кажется полезным», – писал Клаузиус. Согласно второму началу термодинамики изменение энтропии S в обратимом бесконечно малом процессе равно:

dS = Q/T,

где dS – бесконечно малое изменение энтропии, Q – бесконечно малое количество теплоты,
Т – температура. Это значит, что энтропия – характеристика состояния системы, а теплота – характеристика процесса перехода от одного состояния в другое. Поэтому теплота зависит от пути перехода, а энтропия нет. Чтобы лучше понять специфику свойств энтропии, рассмотрим следующий пример. Представим себе, что в два стакана налили по 200 г воды. В первом стакане температура воды 50 °C, во втором – 70 °C. Сливаем содержимое обоих стаканов в один сосуд. Масса воды стала 400 г, но вода не закипела, ее температура не стала 120 °C, а приняла некоторое промежуточное значение. Кстати, такое замечательное свойство температуры позволяет нам крепко обнимать своих друзей, родных и близких, не боясь погибнуть в их объятиях от перегрева.

Свойства веществ, подобные свойствам температуры (при объединении систем данный параметр  «усредняется»), называются интенсивными, а свойства, подобные объему или массе воды (при объединении систем данный параметр «добавляется»), – экстенсивными. Энтропия – величина экстенсивная, при объединении двух систем в одну энтропия увеличивается, подобно массе. Экстенсивные величины подчиняются закону сохранения, т.е. при протекании процесса в закрытой системе² общее их количество остается постоянным. Всех, кроме энтропии. Необратимый процесс в отличие от обратимого порождает энтропию сверх той, которая переносится теплообменом. Происходит это потому, что в необратимом процессе вследствие внутреннего трения часть упорядоченной формы энергии рассеивается, или диссипирует в теплоту, которая всегда пропорциональна количеству энтропии. Поэтому можно написать:

dS = d_eS + d_iS,

где индекс е (от лат. exterior – внешний) количество энтропии, принесенное теплотой, которой система обменивается с окружающей средой, а индекс i (от лат. interior – внутренний) означает энтропию, возникшую внутри системы в результате протекания неравновесного³ процесса. Таким образом, мы пришли к выводу, что с помощью величины S удается охарактеризовать все многообразие неравновесных процессов, позволяющих, как уже было отмечено, выделить направление времени. Это обстоятельство позволило сэру Артуру Эддингтону назвать энтропию стрелой времени.

Смысл и значение второго начала термодинамики и вытекающих из него следствий приведенными примерами отнюдь не ограничивается. Внимание, которое уделяют энтропии в науке и за ее пределами, пожалуй, делает эту величину (субстанцию, характеристику) самой знаменитой. Известный английский ученый и писатель Ч.П.Сноу предложил тест на общую культуру человека, в котором незнание второго начала термодинамики (а соответственно и энтропии) приравнивается к незнанию произведений В.Шекспира. А П.Эткинс, автор выдержавшего семь изданий учебника по физической химии, которым пользуется Европа и США, в одной из книг писал: «Ни один из разделов физики не способствовал в такой мере возвышению человеческого духа, как термодинамика, особенно ее второе начало».

Эволюция привела к деградации

Ограничимся лишь тем фактом, что второе начало термодинамики впервые в истории точных наук поставило вопрос об эволюции неравновесных⁴ физико-химических систем и предложило функцию – энтропию, изменение которой является критерием самопроизвольности течения процесса. Критерий этот может быть сформулирован следующим образом: в изолированной (т.е. не взаимодействующей с окружающей средой) системе протекание необратимого процесса сопровождается ростом энтропии, которая достигает своего максимального значения в состоянии равновесия. В этом состоянии нет упорядоченности, все выравнено, в то время как для неравновесных состояний характерно наличие градиентов свойств, например определенного распределения концентрации или температуры по координате.

Картина получилась удручающая: стремились к созданию теории эволюции, а получили теорию деградации – необратимый процесс ликвидировал упорядоченность, что эквивалентно разрушению структуры. Что делать? Как удовлетворительно объяснить, каким образом в физико-химической системе могут самопроизвольно усложняться ее пространственная и функциональная организация, каковы механизмы предбиологической эволюции, по каким законам молекулы инертной материи могут превращаться в молекулы трепетной жизни?

На эти вопросы во второй половине ХХ столетия дал ответ наш выдающийся соотечественник Илья Романович Пригожин, сформулировав основы теории диссипативных структур.

Любопытно отметить, какую логическую цепочку выстроил юный Илья, выбирая себе будущую профессию. Мать Ильи Пригожина была профессиональным музыкантом, и, естественно, Илья с детства играл на фортепиано. Ноты он научился читать раньше, чем слова. Свое будущее он связывал с профессией концертирующего пианиста. Чтобы добраться до сердец слушателей, исполнителю неплохо было бы разбираться в психологии, но эту науку не освоить без биологии, биологию – без химии, химию – без физики, а физику – без математики. Таким образом, юный Илья понимал, что математика и музыка, эти две великие сферы культуры, абстрактная и эмоциональная формы проявления величия человеческого духа, переплетены крепкими незримыми нитями. «Математика – это язык, на котором боги обращаются к людям», – говорил Платон. В той же тональности можно добавить, что музыка – это язык, на котором люди обращаются к богам.

Пригожин, окончив химический факультет Брюссельского университета, хорошо знал биологию и физику, в тесном контакте работал с профессиональными математиками, увлекался археологией и философией. Его деятельность не имела узких дисциплинарных рамок, а была связана с фундаментальными проблемами современного естествознания.

Прежде чем перейти к изложению идей самоорганизации в неравновесных физико-химических системах, приведем основные экспериментальные данные, известные до создания теории диссипативных структур.

Примеры самопроизвольного
согласованного поведения
большого числа молекул

1896 г. вошел в историю науки открытием французского ученого Анри Беккереля явления радиоактивности. В этом же году произошло еще одно знаменательное событие, значение которого не было адекватно оценено современниками. Немецкий ученый Рафаэль Лизеганг, специалист в области фотографической химии, налил на стеклянную пластинку подогретый раствор желатина, содержащий бихромат калия. Когда раствор охладился и желатин застыл, Лизеганг добавил раствор азотнокислого серебра. Пошла хорошо известная обменная реакция:

K₂Cr₂O₇ + 2AgNO₃ = Ag₂Cr₂O₇+ 2KNO₃.

Отличие от остальных химических реакций с выпадением осадка состояло в том, что чья-то неведомая сила заставила осадок выпадать в виде концентрических колец, отстоящих друг от друга на 1–3 мм и похожих на годовые кольца деревьев. Это был первый пример спонтанного (самопроизвольного) когерентного (согласованного) поведения большого числа молекул.

В 1900 г. француз Анри Бенар нагрел снизу тонкий слой жидкого масла. Более горячие и потому менее плотные нижние слои жидкости стремились поменяться местами с более плотными верхними слоями, но вязкость жидкости при небольших градиентах температуры этому мешала, и теплообмен происходил только за счет теплопроводности. При достижении некоторой разницы температур, названной критической, появлялся конвективный поток, который существенно усиливал тепловой поток. Конвективный поток обладал весьма экзотической структурой: было видно, что вся жидкость превращалась в совокупность шестиугольных ячеек, внутри которых она поднималась вверх, а по краям опускалась вниз.

К тому же жидкость в ячейках вращалась как по часовой стрелке (левое вращение, L), так и против (правое вращение, R). Если убрать нагрев и затем вновь достичь критической разности температур, то число ячеек будет воспроизводиться, а направление вращения – нет. Схематически эту ситуацию можно представить следующим образом:

Размер ячеек порядка миллиметра, масштаб действия межмолекулярных сил порядка ангстрема – 10^–8 см. В ячейке Бенара находится примерно 10²¹ молекул, которые демонстрируют когерентное поведение в процессе случайного теплового движения.

Следующая история, достойная упоминания, произошла в 1920 г. в Италии. У известного математика Вито Вольтерра была дочь на выданье, жених которой изучал фауну Средиземного моря. Делал он это довольно просто, но весьма эффективно: ходил по рыбным рынкам и смотрел, что и почем продают рыбаки. «Что-то у вас нынче сардины дорогие, в прошлом году продавали много дешевле», – вступал он в разговор с рыбаками. «Да ловятся они плохо. Зато тунцы подешевели, в прошлом году их было мало, а в этом – лови сколько хочешь», – отвечали рыбаки. И когда будущий зять рассказал об этом будущему тестю, Вито Вольтерра сразу сообразил, что периодическое изменение численности объясняется конкуренцией хищника (тунца) и жертвы (сардин), связанных единой пищевой цепью. Предложенные им математические уравнения, описывающие эту конкуренцию, совпали с уравнениями Альфреда Лотки, австрийца, эмигрировавшего в США, которые он предложил для гипотетической схемы реакций с образованием неустойчивого промежуточного соединения. Так возникла знаменитая модель Лотки–Вольтерра, присутствующая во всех монографиях, где обсуждается теория самоорганизации.

Самый знаменитый и наиболее впечатляющий процесс, коренным образом изменивший наши представления о реакционных системах, получил название реакции Белоусова–Жаботинского (реакция Б–Ж). Военный химик Борис Павлович Белоусов открыл эту реакцию в 1950 г., а Анатолий Маркович Жаботинский, в то время аспирант физического факультета МГУ, усовершенствовал методики проведения этой реакции и открыл новые эффекты (автоволны), которые могут иметь место в специфических условиях протекания реакции. Что же изменилось в наших представлениях о поведении веществ в химических реакциях благодаря открытию реакции Б–Ж? За прошедшие века химики привыкли к тому, что исходные вещества с той или иной скоростью реагируют друг с другом и дают продукты реакции, концентрации которых в состоянии равновесия постоянны. Такой ход реакции предсказуем и совместим с законом постепенного возрастания энтропии до максимального значения в состоянии равновесия, как изложено выше.

При проведении реакции Б–Ж в колбе смешивают растворы бромида NaBr и бромата натрия NaBrO₃, добавляют малоновую CH₂(COOH)₂ и серную кислоты H₂SO₄, а в качестве катализатора используют соли церия. При определенном соотношении ингредиентов можно наблюдать эффектную картину: через равные интервалы времени жидкость изменяет цвет, как бы отсчитывая неумолимый ход времени. Понятно, что механизм действия этих «химических часов» основан исключительно на межмолекулярных взаимодействиях.

В других условиях та же реакция приводит к расслоению среды с появлением горизонтальных красных и синих полосок, организуя таким образом систему в пространственно-временную структуру, что противоречит стремлению молекулярных систем к установлению максимального беспорядка. В чашке Петри тонкий слой реакционной смеси превращается в замечательное динамическое произведение искусства. Красные и синие концентрические дуги постепенно раскручиваются вокруг нескольких центров, образуя абстрактные движущиеся узоры. Это так называемые автоволны.

Их открыл А.М.Жаботинский, а термин предложил академик Р.В.Хохлов во время защиты Жаботинским докторской диссертации. В упрощенном виде механизм реакции Б–Ж можно представить в следующем виде. Окислительно-восстановительная реакция

BrO₃^– + 4Ce³⁺ + CH₂(COOH)₂ + 5H⁺   BrCH(COOH)₂ + 4Ce⁴⁺ + 3H₂O

идет только в отсутствии Br^–, являющегося ингибитором процесса. Ингибитор удаляется за счет реакции:

BrO₃^– + 2B^– + 3CH₂(COOH)₂ + 3H⁺ 3BrCH(COOH)₂ + 3H₂O.

Но продукты первой и второй реакции могут реагировать с образованием ингибитора:

4Ce⁴⁺ + BrCH(COOH)₂ + 2H₂O Br^–  + 4Ce³⁺ + HCOOH + 2CO₂ + 5H⁺.

Таким образом, имеет место периодическое появление и исчезновение бромид-иона, Ce³⁺ и Ce⁴⁺. Соединения, содержащие окисленную и восстановленную формы катализатора, имеют разную окраску, отсюда и возникает эффект работы «химических часов»⁵.

Рассмотренные примеры самопроизвольно возникающего регулярного, упорядоченного во времени и/или в пространстве поведения систем различной природы получили название процессов самоорганизации.

Самоорганизация и диссипативные структуры

Приведенные выше примеры большинство исследователей не рассматривали и не обсуждали из-за недостаточной теоретической обоснованности. Однако как только Пригожиным были созданы концептуальные основы для понимания самоорганизации материи, к изучению этого предмета появился колоссальный интерес.

Отправной точкой для круга идей, выдвинутых брюссельской школой термодинамики, было, как писал сам Илья Романович, рассмотрение процесса термодиффузии. Явление термодиффузии состоит в том, что при наличии градиента температуры в первоначально однородной смеси возникает градиент концентраций. При этом никаких ограничений на смесь не накладывается, она может быть бинарной или многокомпонентной, компоненты могут иметь любую, в том числе одинаковую, молекулярную массу и находиться в любом агрегатном состоянии. Таким образом, неравновесный процесс теплопроводности, стремясь выравнять температуру в системе, создает разность концентраций. Размышления о термодиффузии привели Пригожина к формулировке тезиса, ставшего знаменитым: «Неравновесность может стать источником упорядоченности». Отметим еще раз, что более высокая степень упорядоченности связана с более низким значением энтропии. Продифференцируем по времени приведенную выше формулу для энтропии:

.

В стационарном состоянии , что возможно в двух случаях.

1-й случай:

.

Это соответствует состоянию термодинамического равновесия. Для закрытой системы в таком состоянии значения температуры и давления во внешней среде и в системе одинаковы.

2-й случай: 

.

Данный случай соответствует неравновесному состоянию при наличии оттока энтропии в окружающую среду, что возможно только в открытой системе. Совокупность стационарных⁶ состояний в открытой системе получила название термодинамической ветви.

Изучение поведения термодинамической ветви в линейной области, когда потоки вещества и энергии линейно зависят от движущих сил, и в нелинейной области привело Пригожина и его сотрудников к созданию теории диссипативных структур. Пространственно-временная организация, получившая общее название структуры, может самопроизвольно возникать только при поддержании постоянного обмена веществом и энергией между самоорганизованной системой и окружающей средой. Обмен энергией вследствие внутреннего трения неизбежно приводит к ее диссипации, т. е. частичной потере за счет перехода в неупорядоченную форму – теплоту. По этой причине они были названы Пригожиным диссипативными структурами. В линейной области таких структур не существует. В ней мы имеем дело с равновесными структурами, модифицированными внешними воздействиями, которые не позволяют системе достичь состояния равновесия.

Для линейной области характерной особенностью является существование принципов экстремумов. Кроме возрастания энтропии в изолированной системе и достижения ее максимального значения в состоянии равновесия в системах, в которых соблюдены условия р, T = const, энергия Гиббса (а при V, T = const – энергия Гельмгольца) имеет экстремум (в данном случае – минимум) в состоянии равновесия. За флуктуациями, приводящими систему к отклонению от равновесия, неизменно следует отклик, возвращающий систему в экстремум соответствующего термодинамического потенциала⁷. Поэтому равновесный мир устойчивый.

Для систем в нелинейной области, далеких от равновесия, не выполняются общие экстремальные принципы, предсказывающие состояния, к которым придет система. В отличие от равновесных неравновесные системы в нелинейной области могут развиваться непредсказуемо. Это происходит потому, что при одном и том же наборе значений переменных неравновесная система вследствие неединственности решений нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих ее поведение, может переходить к разным состояниям. Причиной тому могут быть флуктуации, неоднородности, дефекты и другие случайные факторы. К какому состоянию перейдет конкретная система в каждый следующий момент, в общем случае предсказать невозможно. Для того чтобы новые состояния были упорядоченными или, как говорят, самоорганизация приводила к образованию пространственно-временных диссипативных структур, необходимо выполнение следующих условий:

1) система должна быть неравновесной и термодинамически открытой⁸;

2) динамические уравнения, описывающие поведение системы, должны быть нелинейными;

3) отклонение от равновесия должно превышать критическое значение, после которого термодинамическая ветвь теряет устойчивость;

4) микроскопические процессы должны происходить когерентно (согласованно, кооперативно).

Тогда будет иметь место макроскопический отклик на микроскопическое событие. Таким образом, одно из наиболее глубоких следствий неравновесной термодинамики, которую создавал Пригожин, проявляется в дуалистичности необратимых процессов как разрушителей порядка вблизи равновесия и создателей порядка вдали от равновесия.

Диссипативные структуры, возникающие в неупорядоченных системах, по-видимому, являются недостающим звеном в понимании процессов предбиологической эволюции и соотношения материи и жизни. Существует точка зрения, что жизнь можно рассматривать как результат специфического отбора на пути длительной эволюции, который прошли самоорганизующиеся системы. Поэтому овладение теорией диссипативных структур и дальнейшее ее развитие способствуют укреплению уверенности исследователей в овладении тайнами природы.

* * *

ПРИГОЖИН Илья Романович (25.I.1917–28.V.2003) родился в Москве в семье инженера-химика, выпускник Московского высшего технического училища. В 1913 г. Роман Пригожин организовал у Крестовской заставы, тогдашней окраины Москвы, лакокрасочное производство. В 1918 г. оно было национализировано, а бывший владелец назначен его директором. Когда в 1921 г. начались аресты бывших фабрикантов, отец решил уехать, оставив квартиру семье родной сестры.

Мать Ильи Романовича была музыкантом, и благодаря ее стараниям мальчик с детства играл на пианино.

После отъезда семья сначала жила в Германии, а с 1929 г. обосновалась в Бельгии. Здесь Илья закончил среднюю школу и поступил в Свободный университет в Брюсселе на химический факультет, где уже учился его старший брат Александр. Он закончил университет со степенью бакалавра естественных наук, а в 1941 г., как писал Пригожин в своей автобиографии, получил свою первую докторскую степень⁹.

В оккупированной Бельгии в 1943 г. он оказался в концлагере. Собравшись отдохнуть за городом, Пригожин воспользовался любезным предложением друга семьи, бельгийского генерала, пожить вместе с женой и ее матерью на его пустующей вилле. Как оказалось впоследствии, вилла служила явкой для партизан и находилась под непрерывным наблюдением гестапо, о чем хозяин не подозревал. Приехавшие гости были арестованы и провели в лагере десять недель. Вспоминая о том драматическом эпизоде, Илья Романович говорил, что по большому счету своим спасением из лагеря он обязан победе русских под Сталинградом. После разгрома на Волге нацисты поняли, что война проиграна, и отцу жены, опытному адвокату, удалось при содействии подпольщиков Сопротивления собрать деньги и выкупить узников у гестаповского начальника.

Во время оккупации все университеты в Бельгии были закрыты. Однако преподавание продолжалось – нелегально, преимущественно по частным квартирам. Среди преподавателей был и Пригожин. После изгнания нацистов бельгийское правительство наградило его медалью участника Сопротивления.

Докторская диссертация Пригожина, которую он защитил в 1944 г., была посвящена значению времени в термодинамических системах. В 1947 г. он стал профессором физической химии в Свободном университете.

Еще в студенческие годы Пригожин увлекся термодинамикой, позднее стал изучать неравновесные системы, внес значительный вклад в развитие неравновесной термодинамики.

Скоро стало очевидно, что человеческое общество так же, как и биологическая среда, являет собой пример диссипативных и недиссипативных структур. В 1952 г. английский математик Алан М.Тьюринг первым предположил, что термодинамические нестабильности типа тех, какие были выдвинуты Пригожиным и его коллегами, характерны для самоорганизующихся систем. В 1960–1970-е гг. Пригожин занимался созданной им теорией диссипативных структур и описал образование и развитие эмбрионов. Ученый предположил, что его теории и математические модели систем, которые зависят от времени, могут быть применимы к эволюционным и социальным схемам, политике использования природных ресурсов, а также к таким областям, как рост населения, метеорология и астрономия.

В 1977 г. Пригожину была присуждена Нобелевская премия по химии «за работы по термодинамике необратимых процессов, особенно за теорию диссипативных структур». «Исследования Пригожина в области термодинамики необратимых процессов коренным образом преобразовали и оживили эту науку»,– сказал Стиг Классон в своей вступительной речи от имени Шведской королевской академии наук. Его работы открыли для термодинамики «новые связи и создали теории, устраняющие разрывы между химическим, биологическим и социальным полями научных исследований... Исследования ученого отличают также элегантность и прозрачность, поэтому его заслуженно называют “поэтом термодинамики”».

В 1959 г. Пригожин стал руководить Международным Сольвеевским институтом физики и химии в Брюсселе, а в 1967 г. его назначили директором Центра статистической механики и термодинамики, названного впоследствии его именем, который он основал при Техасском университете в Остине (США). С тех пор он работал одновременно и в Брюсселе, и в Остине.

Как писал впоследствии А.Блох, близко знавший ученого и не раз встречавшийся с ним в последние годы, Пригожин любил свою историческую родину и преклонялся перед ее фундаментальной наукой. Когда в 1990-х гг. она стала золушкой для властей, Илья Романович возвысил голос в ее защиту. «Для Европы, – говорил он на встрече с президентом РАН
Ю.С.Осиповым, – сохранение русской науки – важнейшая задача. Проблемы эти должны решаться прежде всего на политическом уровне».

Он также заявлял, что до сих пор 90% новых математических идей продолжают поступать на Запад из России. И перечислил кумиров, перед которыми снимал шляпу, – Н.Н.Боголюбов, А.Н.Колмогоров, А.М.Ляпунов, И.М.Гельфанд, В.И.Арнольд.

Вспоминая о раскрытых им закономерностях состояний вдали от равновесия, добавил, что и здесь ему подставила плечо русская наука. Ученый имел в виду открытую советскими учеными реакцию Б–Ж (Белоусова–Жаботинского) – так называемые «химические часы». Это достижение он рассматривал как экспериментальное подтверждение реальности его теоретических представлений, без коего Нобелевская премия могла бы пройти мимо него.

Илья Романович был женат на Марине Прокопович; в семье выросли два сына – Ив и Паскаль.

Помимо Нобелевской премии Пригожин награжден золотой медалью Сванте Аррениуса Шведской королевской академии наук (1969), медалью Баурка Британского химического общества (1972), медалью Котениуса Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина» (1975) и медалью Румфорда Лондонского королевского общества (1976). Ученый – член Бельгийской королевской академии наук, Нью-Йоркской академии наук, Румынской академии наук, Королевского научного общества в Упсале и Германской академии естествоиспытателей «Леопольдина». Он – иностранный член Американской академии наук и искусств, Польского и Американского химических обществ – всего около 70 академий и научных организаций. Пригожину присвоены почетные степени 45 университетов: Ньюкасл-Апон-Тайна, Пуатье, Чикаго, Бордо, Упсалы, Льежа, Экс-ан-Прованса, Джорджтауна, Кракова, Рио-де-Жанейро и др.

Скончался Пригожин 28 мая 2003 г. в Брюсселе на 86-м году жизни.

ЛИТЕРАТУРА

Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979; Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000; Агеев Е.П. Нелинейная термодинамика в вопросах и ответах. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: МЦНМО, 2005; Пригожин И., Конденуди Д. Современная термодинамика. От тепловых двигателей до диссипативных структур. Пер. с англ. Под ред. проф. Е.П.Агеева. М.: Мир, 2002.

¹ Градиент (от лат. gradiens, род. падеж gradientis – шагающий) – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой.

² Система, не обменивающаяся массой с окружающей средой.

³ Процесс, идущий в прямом и обратном направлении через одни и те же состояния, бесконечно близкие к состояниям равновесия, называется равновесным. Если же дополнительно к сказанному после возвращения системы к исходному состоянию ни в системе, ни в окружающей среде не произойдут никакие изменения, то такой процесс называется обратимым. Соответственно неравновесные и необратимые процессы не обладают приведенными выше свойствами.

⁴ Неравновесные системы – системы, в которых имеют место градиенты свойств (концентрации, температуры и т.д.).

⁵ На самом деле известны более десяти протекающих химических реакций в обсуждаемой системе, а экспериментальному и теоретическому изучению реакции Б–Ж посвящены тысячи работ.

⁶ То есть не зависящих от времени.

⁷ Термодинамический потенциал – характеристическая функция, имеющая размерность энергии.

⁸ Открытая система обменивается с окружающей средой веществом и энергией.

⁹ Doctor of Philosophy (Ph.D.) примерно соответствует степени кандидата наук в России.

Е.П. АГЕЕВ,
доктор химических наук
(Москва)