Химико-математическая олимпиада
«Абитуриент МГУ-2004»

Ответы на задания заочного тура

Задания см. в № 44/2003

ХИМИЯ

1. Запишем уравнения реакций растворения цинка в азотной кислоте с образованием отдельно NO₂ и NO:

Zn + 4HNO₃ = Zn(NO₃)₂ + 2NO₂ + 2H₂O,

3Zn + 8HNO₃ = 3Zn(NO₃)₂ + 2NO + 4H₂O.

Для того чтобы получить мольное соотношение NO₂:NO = 1:3, надо второе уравнение умножить на 3 и сложить с первым:

10Zn + 28HNO₃ = 10Zn(NO₃)₂ + 2NO₂ + 6NO + 14H₂O.

Мольное соотношение:

HNO₃:Zn = 28:10 = 2,8:1.

Ответ. 2,8 моль HNO₃.

2. .

Пусть серия распадов включает x альфа- и y бета-распадов. Массовое число меняется только за счет альфа-распадов:

235 – 4x = 207.

Откуда x = 7.

Заряд ядра меняется за счет как альфа-, так и бета-распадов:

92 – 2x + y = 82.

Откуда y = 4.

Ответ. 7 альфа- и 4 бета-распадов.

3. Общая формула предельных одноосновных карбоновых кислот – C_nH_2nO₂. В молекуле кислоты содержится n + 2n + 2 = 3n + 2 атомов. Тогда

(C_nH_2nO₂) = m/M = 97,5/(14n + 32) моль,

(атомов) = (3n + 2)•97,5/(14n + 32) = 13,0 моль.

Откуда n = 2. Формула кислоты – C₂H₄O₂.

Ответ. C₂H₄O₂.

4. Число вторичных атомов углерода (групп CH₂) не влияет на число четвертичных, т.к. CH₂ – это гомологическая разность. Пусть в молекуле C_nH_2n+2 содержится x групп CH₃, y групп CH и z четвертичных атомов C. Тогда

Умножая первую строчку на 2 и вычитая вторую строчку, находим:

z = (x – y)/2 – 1.

Ответ. Число четвертичных атомов углерода равно (x – y)/2 – 1.

5. Смешаем по одному литру растворов NaOH и HBr:

NaOH + HBr = NaBr + H₂O.

До реакции

( NaOH) = 0,04 моль,

(HBr) = 0,02 моль.

После реакции (NaOH) = 0,04 – 0,02 = 0,02 моль.

Объем раствора после реакции – два литра. Молярная концентрация щелочи:

c(NaOH) = 0,02/2 = 0,01 моль/л.

NaOH = Na⁺ + OH^–.

[OH^–] = 0,01 моль/л, [H⁺] = 10^–14/0,01 = 10^–12 моль/л, pH = –lg (10^–12) = 12.

Ответ. pH = 12.

6. MF + H₂SO₄(конц.) = MHSO₄ + HF,

2HF + Ca(OH)₂ = CaF₂ + 2H₂O.

(CaF₂) = 27,3/78 = 0,35 моль,

( MF) = 2 (HF) = 0,35•2 = 0,7 моль,

M(MF) = 18,2/0,7 = 26 г/моль.

A(M) = 26 – 19 = 7 г/моль. Неизвестный металл – литий.

Ответ. Литий.

7. C_nH_2n–6 = C_nH_2n–8 + H₂,

C_nH_2n–8 + Br₂ = C_nH_2n–8Br₂.

(C_nH_2n–8) = (Br₂) = 76/160 = 0,475 моль.

Для первой реакции:

(C_nH_2n–6) = 0,475/0,6 = 0,792 моль,

M(C_nH_2n–6) = 95/0,792 = 120 г/моль.

Формула исходного углеводорода – C₉H₁₂.
Из восьми гомологов бензола состава C₉H₁₂ отщеплять водород с образованием двойной связи могут только те, у которых в боковой цепи есть хотя бы два атома углерода. Таких изомеров пять:

Ответ. Пять изомеров.

8. H₂ + I₂ = 2HI.

Пусть при охлаждении образовалось еще x моль HI, тогда израсходовано по x/2 моль H₂ и I₂:

Откуда x = 0,55.

(HI) = 6 + x = 6,55 моль,

(H₂) = 3,0 – x/2 = 2,73 моль,

(I₂) = 0,8 – x/2 = 0,53 моль.

Ответ. 6,55 моль HI, 2,73 моль H₂, 0,53 моль I₂.

9. Найдем эмпирическую формулу комплекса:

(Pt): (N): (Br): (H) = (50,13/195):(7,20/14):(41,13/80):(1,54/1) = 1:2:2:6.

Формула комплекса – PtN₂Br₂H₆, или [Pt(NH₃)₂Br₂]. Валентность Pt – IV.

Получение:

PtBr₂ + 2NH₃ = [Pt(NH₃)₂Br₂].

Комплекс имеет форму плоского четырехугольника с атомом платины в центре. Одинаковые лиганды могут находиться либо на одной стороне, либо на диагонали. Геометрические изомеры:

Ответ. [Pt(NH₃)₂Br₂]. Валентность центрального атома IV.

10. Исходное вещество C₇H₉N – любой из трех этилпиридинов (орто-, мета- или пара-этилпиридин).

Схема превращений:

C₂H₅C₅H₉NH₂Cl C₂H₅C₅H₉NH C₂H₅C₅H₄N C₂H₅C₅H₃(NO₂)N KOOCC₅H₃(NO₂)N

C₅H₄(NO₂)N C₅H₄(NH₂)N.

Уравнения реакций:

этилпиридин нитруется под действием азотной кислоты:

при взаимодействии С₇Н₈N₂O₂ с водным раствором перманганата калия этильная группа окисляется:

при прокаливании соли карбоновой кислоты с гидроксидом калия происходит декарбоксилирование:

нитрогруппа восстанавливается до аминогруппы алюминием в щелочной среде:

исходное соединение – этилпиридин – можно прогидрировать на никелевом катализаторе:

полученный циклический амин присоединяет хлороводород:

11. В обоих случаях происходит реакция нейтрализации:

H⁺ + OH^– = H₂O.

В первом случае в реакцию вступило по 0,01•0,50 = 5,0•10^–3 моль ионов H⁺ и OH^– и образовалось столько же моль H₂O (на 20 мл раствора). Во втором случае ионы OH^– находятся в недостатке: в реакцию вступило по 0,005•0,50 = 2,5•10^–3 моль ионов H⁺ и OH^– и образовалось столько же моль H₂O, т.е. в два раза меньше, чем в первом случае. В результате реакции выделилось в два раза меньше теплоты, но эта теплота приходится на меньший объем раствора: 15 мл вместо 20. Понижение температуры во втором случае:

T₂ = (T1/₂)•(20/15) = (2/3)•T₁.

Ответ. (2/3)•T1.

12. 1) При смешивании растворов хлорида железа(III) и силиката натрия происходит полный гидролиз обоих соединений. Если реакцию проводить при легком нагревании, то образуется не кремниевая кислота, а ее ангидрид:

2) Гидроксид железа(III) при прокаливании теряет воду:

3) Оксид железа(III) восстанавливается до металла под действием углерода:

4) Углерод также восстанавливает оксид кремния:

5) Кремний растворяется в щелочах:

6) При действии соляной кислоты на раствор силиката натрия образуется кремниевая кислота, которая при легком нагревании переходит в кремниевый ангидрид:

Ответ. X₁ – Fe(OH)₃, X₂ – Fe₂O₃, X₃ – C, Y₁ – SiO₂, Y₂ – Si, Y₃ – Na₂SiO₃.

13. В реакциях cмеси с водой образуются два газа – водород и аммиак:

BaH₂ + 2H₂O = Ba(OH)₂ + 2H₂,

Li₃N + 3H₂O = 3LiOH + NH₃.

При растворении смеси в соляной кислоте выделяется только водород:

BaH₂ + 2HCl = BaCl₂ + 2H₂,

Li₃N + 4HCl = 3LiCl + NH₄Cl.

Пусть (BaH₂) = x моль, (Li₃N) = y моль.

Тогда

₁(H₂, NH₃) = 2x + y, ₂(H₂) = 2x.

По условию

2x + y = 1,5•2x.

Откуда x = y, т.е. исходная смесь – эквимолярная.

Массовая доля гидрида бария:

(BaH₂) = M(BaH₂)/(M(BaH₂) + M(Li₃N)) = 139/(139 + 35) = 0,80 = 80%.

Ответ. (BaH₂) = 80%.

14. CO + Cl₂ = COCl₂.

Концентрация фосгена через 5 мин после начала реакции:

c(COCl₂) = 5•2,5•10^–3 = 1,25•10^–2 моль/л.

Парциальное давление фосгена:

p(COCl₂) = cRT = 1,25•10^–2•8,314•398 = 41,4 кПа.

Общее давление через 5 мин складывается из давления фосгена и давлений CO и Cl₂, которые равны друг другу, т.к. в исходной смеси (CO) = (Cl₂):

p = p(COCl₂) + p(CO) + p(Cl₂) = p(COCl₂) + 2p(Cl₂),

p(Cl₂) = (p – p(COCl₂))/₂ = (230 – 41,4)/2 = 94,3 кПа.

В процессе реакции количество прореагировавшего хлора равно количеству образовавшегося фосгена:

_{прореаг}(Cl₂) = _обр(COCl₂).

Поэтому уменьшение давления хлора равно давлению фосгена:

p₀(Cl₂) – p(Cl₂) = p(COCl₂),

p₀(Cl₂) = p(Cl₂) + p(COCl₂) = 94,3 + 41,4 = 135,7 кПа.

Ответ. p₀(Cl₂) = 135,7 кПа.

15. Уравнения электролиза:

Пусть (Bi(NO₃)₃) = x моль, а (Hg(NO₃)₂) = y моль. Тогда (Bi) = x моль, а (Hg) = y моль.

Из условия задачи следует:

209x + 201y = 7,195 г.

Количество электронов, прошедших через раствор:

(e) = It/F = 0,90•161•60/96 500 = 0,09 моль.

Из уравнений восстановления ионов металлов следует:

3x + 2y = 0,09.

Решая систему двух уравнений, находим:

x = 0,02, y = 0,015.

Молярные концентрации солей:

с(Bi(NO₃)₃) = 0,02/0,16 = 0,125M,

с(Hg(NO₃)₂) = 0,015/0,16 = 0,094M.

Ответ. 0,125М Bi(NO₃)₃, 0,094М Hg(NO₃)₂.

16. Для реакции с диэфиром потребовалось 30 – 6 = 24 мл 1,00М раствора NaOH, т.е. 0,024 моль. Уравнение щелочного гидролиза:

Количество диэфира:

= 0,024/2 = 0,012 моль.

Молярная масса диэфира:

M(A) = 2,81/0,012 = 234,16 234 г/моль.

Судя по продуктам омыления, диэфир содержит одну сложноэфирную группу COOCH₃, другую сложноэфирную группу COOR, содержащую бензольное кольцо, и двойную связь CH=CH. С учетом оптической активности спирта C, который образуется при гидролизе, единственно возможная формула диэфира A:

H₃COCOCH=CHCOOCH(CH₃)C₆H₅

(брутто-формула C₁₃H₁₄O₄).

При омылении образуются CH₃OH, дикарбоновая кислота

и 1-фенилэтанол

Непредельная кислота B при дегидратации образует циклический ангидрид. Следовательно, вещество B – это цисизомер:

Структурная формула ангидрида D:

17. Запишем суммарное уравнение образования смеси метана, этана и пропана в молярном соотношении 3:2:2:

13CO + 33H₂ = 3CH₄ + 2C₂H₆ + 2C₃H₈ + 13H₂O.

Пусть в исходной смеси был 1 моль CO и 2 моль H₂. В реакцию вступило 0,1 моль CO. Количества газов в смеси после реакции:

(CO) = 1 – 0,1 = 0,9 моль,

(H₂) = 2 – 0,1•(33/13) = 1,75 моль,

(CH₄) = 0,1•(3/13) = 0,023 моль,

(C₂H₆) = (C₃H₈) = 0,1•(2/13) = 0,015 моль,

(H₂O) = _{прореаг}(CO) = 0,1 моль.

До реакции в смеси было 3 моль газов, после реакции:

0,9 + 1,75 + 0,023 + 2•0,015 + 0,1 = 2,80 моль.

Общее давление уменьшилось в 3/2,8 = 1,07 раза.

Ответ. Давление стало меньше в 1,07 раза.

18. Предположим для простоты, что аминокислоты, образующие дипептид, содержат только по одной аминогруппе. При кислотном гидролизе концентрированной HCl (37%-й) дипептида образуются хлороводородные соли аминокислот:

дипептид + 2HCl + H₂O ClH₃NCH(R)COOH + ClH₃NCH(R')COOH.

По массовой доле хлора можно найти молярную массу одной из этих солей:

M(ClH₃NCH(R)COOH) = 35,5/0,2829 = 125,5 г/моль.

Отсюда M(R) = 15 г/моль, R = CH₃.

Одна из аминокислот – аланин.

С разбавленной соляной кислотой дипептид образует соль:

дипептид + HCl (разб.) дипептид•HCl.

Молярную массу соли также находим по содержанию хлора:

M(дипептид•HCl) = 35,5/0,1671 = 212,5 г/моль.

Отсюда M(дипептида) = 176 г/моль.

Дипептид состоит из остатков двух аминокислот, одна из которых – аланин (M = 89 г/моль):

аланин + аминокислота = дипептид + H₂O,

M(аминокисл.) = 176 + 18 – 89 = 105 г/моль.

Такую молярную массу имеет серин (R' = CH₂OH). Искомый дипептид – Ala–Ser или Ser–Ala:

Ответ. Дипептид Ala–Ser или Ser–Ala.

Материал подготовил
В.В.ЕРЕМИН,
доцент химического
факультета МГУ

МАТЕМАТИКА

1. x = –51, x = 55.

2. 0,5 < x < 1.

3. x = /8 + k/4, x = m, x = /14 + n/7, k, m, n Z.

4.

5. Второе число больше.

6. 10.

7. 16/5.

8.

9. 1.

10.

11. 3.

12. a = 2, b = 4, c = 64.

Задания и ответы предоставили
доценты механико-математического
факультета МГУ
Ю.Н.МАКАРОВ и А.И.КОЗКО.

ФИЗИКА

Задания и ответы предоставил
главный научный сотрудник
Института химической физики РАН
А.А.ЛУНДИН.