Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Химия»Содержание №4/2003

Летопись важнейших открытий

Прямые методы в рентгеновской
кристаллографии

В 1953 г. вышла работа двух американских математиков – Джерома Карла и Герберта Хауптмана, посвященная теории прямых методов в рентгеноструктурном анализе. Благодаря этим методам рентгеноструктурный анализ является самым мощным методом определения структуры молекул в кристаллах. К настоящему времени этим методом изучено строение более 200 000 молекул. В 1985 г. оба математика получили Нобелевскую премию по химии за развитие прямых методов.

В 1669 г. датский естествоиспытатель Нильс Стенсен опубликовал работу «О твердом, естественно содержащемся в твердом». Этот год можно считать датой рождения кристаллографии – науки о кристаллах. В работе Стенсена содержится, в частности, закон постоянства углов: кристаллы различной формы одного и того же вещества (минерала) имеют неизменные углы между соответствующими гранями. Закон постоянства углов и открытый в 1783 г. закон рациональности отношений параметров (закон Гаюи) являются следствием особенности внутреннего строения кристаллов – трехмерной периодичности в расположении материальных частиц. Этим кристаллическое тело отличается от аморфного. Первым, кто высказал подобную гипотезу, был французский аббат, профессор минералогии и кристаллографии Рене Жюст Гаюи. Он предположил, что кристалл представляет собой как бы кладку из множества мельчайших одинаковых кирпичиков, названных им интегральными молекулами. В 1848 г. французский инженер Огюст Браве, заменив «интегральные молекулы» точками, пришел к понятию пространственной решетки как геометрического образа, отражающего трехмерную периодичность кристалла. В 1855 г. он вывел 14 типов пространственных решеток.
Решетка характеризуется тремя векторами (трансляциями), при сдвиге на которые структура совпадет сама с собой. Параллелепипед, построенный на трех векторах трансляций, называется ячейкой решетки. Если мы знаем расположение атомов внутри ячейки, то, «размножив» трансляциями ячейку на весь объем кристалла, получим всю кристаллическую структуру. Поэтому говорят, что кристаллическая структура обладает трансляционной симметрией. Кроме трансляционной в кристаллах возможны и другие типы симметрии. Структура может совмещаться сама с собой при поворотах, отражении в плоскости, отражении в точке – инверсии (т. е. атом с координатами x, y, z перейдет в атом с координатами –х, –y, –z) или при последовательном выполнении таких преобразований (например, поворот с инверсией, отражение с трансляцией).
Всего существует 230 комбинаций элементов симметрии, которыми может обладать кристаллическая структура. Они называются пространственными группами, т. к. с точки зрения алгебры комбинации элементов симметрии образуют математическую группу. Пространственные группы были открыты в 1890 г. независимо и почти одновременно русским кристаллографом Евграфом Степановичем Федоровым (поэтому в России их часто называют федоровскими) и немецким математиком Артуром Шенфлисом. Благодаря симметрии нам надо определять координаты не всех атомов в ячейке, а только части из них, которые называют независимой частью ячейки. Координаты остальных атомов в ячейке однозначно определятся, если мы «размножим» атомы независимой части элементами симметрии кристалла.
Датой рождения рентгеноструктурного анализа можно считать 1912 г., когда немецкий физик Макс Лауэ и его сотрудники открыли эффект дифракции рентгеновских лучей при их прохождении через кристалл. В 1914 г. английский ученый Уильям Лоуренс Брегг предложил наглядную трактовку дифракции рентгеновских лучей в кристалле как отражение от серии узловых плоскостей кристалла (рис. 1).

Рис. 1. Схема дифракции рентгеновских лучей по Бреггу (dhkl – межплоскостное расстояние; q – угол отражения от плоскостей h, k, l).
Рис. 1. Схема дифракции
рентгеновских лучей по Бреггу
(dhkl – межплоскостное расстояние;
– угол отражения от плоскостей h, k, l).

Узловой плоскостью называется плоскость, проходящая через три узла решетки. Любая узловая плоскость, которая параллельна проходящей через начало координат плоскости hx + ky + lz = 0, будет иметь уравнение hx + ky + lz = p, где p – постоянная. Три индекса, т. е. три взаимно простых (несократимых) числа h, k, l, характеризуют целую серию узловых плоскостей, параллельных друг другу. Поэтому эту серию плоскостей обозначают как (hkl).
Лучи, отраженные последовательными плоскостями, не будут гасить друг друга лишь в случае, если разность их хода составит целое число длин волн. Из этого Брегг вывел соотношение

Это же уравнение было выведено независимо русским кристаллографом Георгием Викторовичем Вульфом и поэтому носит название уравнения Вульфа–Брегга. Оно определяет те углы , при которых может происходить отражение от заданной серии плоскостей (hkl). Целое число n называется порядком отражения. Отражениям серии плоскостей (hkl) приписывают индексы nh, nk, nl. Поэтому индексы отражения не обязаны быть взаимно простыми числами.
Направления и интенсивности отраженных лучей полностью определяются структурой кристалла. На их анализе и основан рентгеноструктурный метод определения строения вещества. Только при этом нам надо решить обратную задачу – по известным направлениям и интенсивностям отраженных рентгеновских лучей восстановить расположение атомов в кристалле. Таким образом получается полная информация о геометрии молекул, составляющих кристалл. Во многих случаях рентгеноструктурный анализ – единственный метод, благодаря которому можно установить строение молекулы, например, как на рис. 2.

Рентгеноструктурный анализ разделяется на два этапа.

Рис. 2. Структура сандвичевого комплекса ртутьсодержащего макроцикла с бораном
Рис. 2. Структура сандвичевого
комплекса ртутьсодержащего
макроцикла с бораном

На первом этапе, во-первых, определяют параметры кристаллической решетки и ее симметрию; во-вторых, находят координаты атомов в ячейке. Определение параметров ячейки обычно является тривиальной задачей. Существуют различные формулы (в зависимости от метода съемки кристалла), по которым они вычисляются, если мы знаем углы отраженных от кристалла лучей. Когда параметры ячейки известны, мы можем делать первые предположения о возможных элементах симметрии кристаллической структуры. Каждый элемент симметрии, за исключением центра инверсии, накладывает определенные ограничения на параметры элементарной ячейки. Например, если структура обладает осью симметрии, то два угла элементарной ячейки равны 90 градусам. При повышении симметрии число ограничений увеличивается. В соответствии с этими ограничениями на величины параметров ячеек 230 пространственных групп разбиваются на 6 классов, которые в кристаллографии называются сингониями. Минимальное число групп (2) содержит триклинная сингония, которая допускает только наличие центра инверсии и не накладывает никаких ограничений на параметры элементарной ячейки, максимальное (59) содержит ромбическая сингония.
Дальнейшее определение пространственной группы связано уже с анализом интенсивностей отражений. Однако даже после такого анализа некоторые пространственные группы остаются неотличимыми друг от друга. В этом случае исследователь пытается расшифровать структуру в разных группах. Если симметрия структуры не та, которая предполагается, структура не расшифруется.
Второй этап расшифровки структуры представляет основную проблему. Зная координаты атомов в ячейке, мы можем рассчитать теоретические интенсивности отражений по формуле

(1)

где К – коэффициент, постоянный для данного образца, – поляризационный фактор, а F(hkl) – структурная амплитуда отражения hkl.

Структурная амплитуда рассчитывается по формуле

(2)

где xj, yj и zj – координаты атомов, fj – атомный фактор рассеяния, показывает, во сколько раз атом j рассеивает рентгеновское излучение сильнее, чем электрон.
Величина fj уменьшается с увеличением (рис. 3). Это связано с тем, что электроны атома сосредоточены не в одной точке (модель точечных атомов), а распределены в пространстве, поэтому лучи, отраженные разными участками электронного облака, частично гасят друг друга. Этот эффект усиливается при увеличении . При = 0 fj равно числу электронов атома Zj. Тепловые колебания атомов еще больше размазывают электронное облако, что приводит к усилению эффекта. Это учитывается введением температурной поправки.
В общем случае F(hkl) – комплексная величина. Ее можно представить как , где – фаза структурной амплитуды.
Зная структурные амплитуды, мы можем восстановить распределение электронной плотности в кристалле. Но, измеряя интенсивности отражений, мы можем вычислить лишь только модули структурных амплитуд по формуле (1). При этом мы ничего не знаем об их фазах. Это и есть знаменитая фазовая проблема рентгеноструктурного анализа.

В связи с фазовой проблемой примерно до 1936 г. расшифровка структур велась методом проб и ошибок. Сначала выдвигали несколько возможных моделей кристалла, затем по данной модели рассчитывали теоретические интенсивности отражений, которые сравнивали с экспериментальными. Очевидно, что у «правильной» модели разногласие должно было быть минимальным. Однако такой подход был возможен только для сравнительно простых по строению структур.
В 1935 г. американский физик Артур Линдо Паттерсон предложил метод, позволяющий найти координаты атомов, исходя из модулей структурных амплитуд |F |, в котором не требуются знания фаз. Для этого рассчитывается специальная функция (функция Паттерсона), которая зависит только от модулей структурных амплитуд, но не от их фаз.
Максимумы (пики) функции Паттерсона соответствуют межатомным расстояниям. Поэтому функцию Паттерсона называют также межатомной функцией. Чем сильнее пик, тем больше произведение зарядов атомов, расстоянию между которыми он соответствует. Этот метод очень удобен, если в структуре имеется один или несколько тяжелых атомов, а остальные легкие. Однако он малоприменим для структур, где все элементы имеют близкие атомные номера или где много тяжелых атомов.

Рис. 3. Кривые атомного рассеяния f для точечного атома (1), неподвижного атома (2) и атома, совершающего тепловые колебания (3)
Рис. 3. Кривые атомного рассеяния f
для точечного атома (1),
неподвижного атома (2) и атома,
совершающего тепловые колебания (3)

В 1947 г. в Journal of Chemical Physics в разделе «Письма к редактору» появилась маленькая заметка Дэвида Харкера и Джона Каспера – американских ученых, работавших в исследовательской лаборатории компании General Electric. В статье говорилось, что, хотя мы не можем определить фазы всех отражений, можно найти связь между фазами некоторых из них, зная лишь модули структурных амплитуд. С этой небольшой заметки началось развитие «прямых» методов решения фазовой проблемы. Они называются прямыми, поскольку позволяют определять значения фаз непосредственно из модулей структурных амплитуд без каких-либо знаний о геометрии структуры. Иногда, в более широком понимании термина «прямые методы», к ним относят также метод Паттерсона. Однако в последнем при интерпретации межатомной функции данные о геометрии фрагментов структуры могут играть важную роль.

Харкер и Каспер ввели понятие единичной (унитарной) структурной амплитуды:

(3)

где – доля электронов j-го атома.

Дело в том, что структурная амплитуда (2) зависит не только от координат атомов, но и от величины , в то время как единичная структурная амплитуда не зависит от . В грубом приближении кривые атомного рассеяния для всех элементов подобны, т. е. fj = Zj f, где f не зависит от природы атома. Тогда

(4)

(здесь Z – общее число электронов в ячейке), откуда мы можем вычислить единичные структурные амплитуды. Модуль единичной структурной амплитуды всегда меньше единицы, поэтому она так и называется.
Харкер и Каспер вывели различные неравенства, связывающие структурные амплитуды различных отражений. Этот метод получил название метода неравенств. Каждый элемент симметрии пространственной группы кристалла и их комбинации дают различные неравенства. Простейшим из них (наличие центра инверсии) является

(5)

из которого следует, что если

то знак U(2h, 2k, 2l) обязан быть положительным. Другие неравенства сложнее и включают большее число единичных структурных амплитуд. Например, наличие оси 4-го порядка дает неравенство

Благодаря выведенным соотношениям Харкеру, Лачу и Касперу удалось в 1950 г. расшифровать структуру молекулы декаборана, строение которого не могло быть предсказано ни из теоретических соображений, ни на основании опыта. Предыдущие попытки расшифровать эту структуру методом проб и ошибок не приводили к успеху.

Обычно в рентгеновской кристаллографии все три индекса отражения hkl записывают одной буквой H, так же, как в геометрии вектор (x, y, z) записывают одной буквой R. Такие тройки индексов называются векторами обратного пространства. Каждому отражению соответствует вектор обратного пространства с координатами (h, k, l). Набор отражений hikili будет обозначаться буквами Hi или, если их немного, буквами H, K, L, M и т. д. В дальнейшем используются эти обозначения.

В 1950 г. подход Харкера–Каспера был развит в методе детерминантов, в котором выбирают произвольно m отражений H1, H2,..., Hm, и из m•m единичных структурных амплитуд отражений вида Hp– Hq строят квадратную матрицу:

где Upq – единичная структурная амплитуда отражения Hp–Hq.

Определитель такой матрицы называется детерминантом Карла–Хауптмана – двух математиков, которые ввели эту матрицу и начали исследовать ее свойства.
Исследованием свойств детерминанта также занимался советский физик Александр Исаакович Китайгородский, более известный как создатель метода атом-атомных потенциалов и принципа плотной упаковки в молекулярных кристаллах.
Оба указанных метода – метод неравенств и метод детерминантов – относятся к группе прямых методов, по которым фазы отражений достоверно определяются из алгебраических соотношений. В то же время в 1950-х гг. начал развиваться и другой подход – статистический, начало которому положила работа Артура Вильсона (1949), в которой в рентгеновскую кристаллографию были введены вероятностные соотношения.
В 1952 г. Дэвид Сейер, Вильям Кокрен и Вильям Захариасен в одном и том же номере журнала Acta Crystallographica опубликовали статьи, посвященные выводу исключительно простой связи между структурными амплитудами. Еще в 1944 г. Паттерсон отметил, что задача определения фаз из модулей структурных амплитуд не является однозначной. Чтобы задача стала однозначной, необходимы некоторые дополнительные требования.

Первым требованием является принцип неотрицательности электронной плотности. Однако этого условия также недостаточно. Вторым условием является представление о структуре кристалла как состоящей из сферически-симметричных и неперекрывающихся атомов. Из этого условия Сейер вывел соотношение (в предположении, что все атомы в структуре имеют равную рассеивающую способность):

(6)

где V – объем элементарной ячейки, f – фактор рассеяния, а – фактор рассеяния «квадратичного атома». Суммирование ведется по различным тройкам индексов K.

Из формулы (6) выведено знаменитое триплетное фазовое соотношение:

(7)

При этом чем больше единичные структурные амплитуды этих трех отражений, тем более точно выполняется это приближенное равенство. В случае центросимметричных структур получается соотношение, полученное Кокреном:

(8)

где S(H) – знак структурной амплитуды U(H).

Вероятность выполнения этого равенства тем выше, чем больше значение амплитуд отражений H, K и Н – K. Китайгородский показал, что если произведение единичных структурных амплитуд трех отражений U(H)•U(K)•U(H – K) (называемое структурным произведением) по модулю больше 1/8, то это приближенное равенство должно выполняться точно.
Для структурной амплитуды U(H) можно составить комбинации S(H – K)•S(K) при различных K. При вычислении знака структурной амплитуды U(H) Захариасен предложил использовать среднее значение таких комбинаций:

 

В статистических методах обычно используют не единичные, а нормализованные структурные амплитуды: 

Среднеквадратичное значение нормализованной структурной амплитуды равно единице. Для структуры, состоящей из N одинаковых атомов, единичная и нормализованная структурные амплитуды связаны соотношением .
Если в первом приближении вероятность пропорциональна произведению E(K)•E(H – K), тогда

(9)

Как и в центросимметричном случае, если составить для(H) несколько соотношений с различными K, то получится аналог формулы (9) – «тангенс-формула», выведенная Карлом и Хауптманом в 1956 г.:

(10)

Создание строгой теории прямых методов, основанной на вероятностном подходе, произошло в 1953 г., когда Карл и Хауптман опубликовали работу «Решение фазовой проблемы. I. Центросимметричный кристалл». Центральным понятием этой теории является понятие инварианта. Инвариантом называется некоторая величина, которая не меняется при переносе начала координат в ячейке (инвариантна относительно переноса начала координат). Например, модуль структурной амплитуды является инвариантом, а фаза – не является. Но существуют такие линейные комбинации фаз, которые являются инвариантами.
Универсальная теорема инвариантности утверждает, что если сумма некоторой комбинации индексов AiHi равна нулю, то и соответствующая сумма фаз Aifi является инвариантом. Карл и Хауптман называют эту фазовую сумму структурным инвариантом. Наиболее известным инвариантом является триплет – трехфазный структурный инвариант , при H1 + H2 + H3 = 0.
Из рентгеноструктурного эксперимента мы получаем данные о тысячах или даже десятках тысяч отражений (в зависимости от сложности структуры). Количество триплетов (в общем случае – структурных инвариантов), которые можно из них получить, также велико, поэтому можно говорить о распределении значения инварианта как случайной величины и применять для изучения этого распределения методы теории вероятностей.
Структурный инвариант зависит от координат атомов и от индексов отражений, поэтому возможны два подхода. В первом рассматривается значение структурного инварианта, состоящего из комбинации фаз фиксированных отражений в зависимости от координат атомов в элементарной ячейке, которые являются случайными переменными. Во втором подходе координаты атомов считаются фиксированными, а случайные переменные – это индексы отражений.
Первый подход был предложен Карлом и Хауптманом в 1953 г., а второй – ими же в 1958 г. Как правило, оба подхода дают одинаковые результаты, но второй по физическому смыслу более правильный, т. к. при расшифровке мы имеем дело с фиксированной структурой.
После публикации Хауптмана и Карла появляется много работ, посвященных статистическому подходу в прямых методах.
Обычная область применения прямых методов – структуры, содержащие от нескольких десятков до нескольких сотен (до тысячи) атомов в независимой части ячейки. Для определения структуры белков, содержащих десятки тысяч атомов, в настоящее время существуют методы прямого определения фаз из эксперимента (кристалл снимают несколько раз при разных длинах волн). Однако такие методы технически гораздо сложнее обычного рентгеноструктурного эксперимента и у них также есть свои ограничения.
В современных компьютерных программах расшифровки структуры используется модифицированная тангенс-формула, которая учитывает как триплетные соотношения, так и соотношения для квартетов. Одной из наиболее распространенных на сегодняшний день программ является программа расшифровки, входящая в комплекс программ SHELX для рентгеноструктурного анализа, разработанная группой Дж. Шелдрика в Германии.
Развитие прямых методов достигло уже такого уровня, что при расшифровке небольших молекул (до нескольких сотен атомов) с помощью компьютера в 90 из 100 случаев структура расшифровывается «нажатием клавиши Enter».
В дальнейшем прямые методы позволят решать все более сложные структуры. Наиболее перспективным являются, конечно, использование комбинации прямых методов с другими. Например, если в структуре есть тяжелый атом, методом Паттерсона можно определить его координаты. Знание координат тяжелого атома усилит вероятностные соотношения для вывода фаз амплитуд. В 1997 г. был преодолен рубеж 1000 атомов – с помощью только прямых методов была расшифрована структура белка лизоцима, содержащего 1001 атом.

ЛИТЕРАТУРА

Harker D., Kasper J.S. Phases of Fourier coefficients directly from crystal diffraction data. Acta Cryst., 1948, v. 1, p. 70–75;
Sayre D. The Squaring Method: a New Method for Phase Determination. Acta Cryst., 1952,
v. 5, p. 60–65;
Cochran W. A relation between the Signs of Structure Factors. Acta Cryst., 1952, v. 5, p. 65–67;
Zachariasen W.H. A new Analytical Metod for Solving Complex Crystal Structures. Acta Cryst., 1952, v. 5,
p. 68–73;
Hauptman H., Karle J. Solution of the Phase Problem. I. The Centrosymmetric Crystal. ACA Monograph No. 3. Pittsburgh, Pennsylvania: Polycrystal Book Service, 1953;
Китайгородский А.И. Теория структурного анализа. М.: Изд-во АН СССР, 1957; Прямые методы в рентгеновской кристаллографии: Теория и практическое применение. Под ред. М. Лэдда, Р. Палмера. М.: Мир, 1983.

* * *

Карл Джером (18.IV.1918) родился в Нью-Йорке в семье людей искусства. Мать играла на фортепиано и органе и хотела, чтобы ее сын тоже стал пианистом. Джером начал заниматься музыкой, но его уже тогда гораздо больше привлекала карьера ученого. В школе его интересовали физика и химия.
После окончания школы в 1933 г. в Бруклине он поступил в нью-йоркский Сити-колледж. Требования в колледже были очень высокие. По воспоминаниям Карла, там учились лучшие студенты Нью-Йорка. Кроме изучения в колледже математики и физики Карл много занимался химией и биологией. Окончив колледж, он продолжил образование в Гарвардском университете, где получил магистерскую степень по биологии.
В 1940 г. Карл начал работать на химическом факультете Мичиганского университета, где познакомился со своей будущей женой – Изабеллой Лугоски. Они поженились в 1942 г. Их обоих привлекала физическая химия, и они занялись изучением структуры молекул в газовой фазе с помощью электронной дифракции. В 1943 г. Карл стал магистром естественных наук и за диссертацию по газовой электронографии получил докторскую степень по физической химии. Во время второй мировой войны Карл и его жена были участниками Манхэттенского проекта – научных разработок по созданию атомной бомбы.
После окончания войны супруги работали в военно-морской научно-исследовательской лаборатории в Вашингтоне. Занимаясь выводом количественных соотношений для газовой электронографии, они поняли, что решение ключевой проблемы связано с другими областями структурного анализа, в частности с анализом кристаллической структуры. Примерно в это время к ним присоединился Герберт Хауптман, и они переключились в основном на проблемы расшифровки кристаллических структур.
В пятидесятые годы двадцатого столетия благодаря работам Карла и Хауптмана началось бурное развитие прямых методов. В шестидесятых, используя прямые методы, они успешно расшифровали ряд структур. К концу шестидесятых многие лаборатории заинтересовались возможностями прямых методов.
В 1968 г. специально для Джерома Карла была учреждена должность руководителя научных исследований, и он возглавил лабораторию структуры вещества. В ней исследуют молекулы в газах, аморфные вещества, волокна и кристаллы.
Продолжая заниматься исследовательской работой в лаборатории военно-морских сил, Карл читал лекции по математике и физике в колледже Мэри- лендского университета. Он выступал с лекциями в Великобритании, Германии, Италии, Канаде, Польше, Бразилии и Японии, а кроме того, вел Вашингтонский коллоквиум по кристаллохимии, который ежемесячно проходит в геофизической лаборатории Института Карнеги. С 1981 по 1984 г. он являлся президентом международного союза кристаллографов. В 1985 г. получил Нобелевскую премию по химии за развитие прямых методов.

Хауптман Герберт Аарон (14.II.1917) родился в Нью-Йорке. Он вырос в Бронксе и окончил школу в 1933 г., углубленно изучал математику в нью-йоркском Сити-колледже, где познакомился с Джеромом Карлом. В 1937 г. Хауптман получил степень бакалавра, а в 1939 г. в Колумбийском университете – степень магистра по математике.
Работать Хауптман начал статистом в Бюро по переписи населения, затем служил в военно-воздушных силах США в качестве инструктора по электронике, позже – офицера-метеоролога. В 1947 г. его зачислил в штат военно-морской научно-иссле- довательской лаборатории, расположенной в Вашингтоне, на должность физика-математика; в это же время он возобновил дружбу с Карлом. Началось их научное сотрудничество в области исследований и разработки методов обсчета данных рентгеноструктур- ного анализа. В 1955 г. Хауптману присуждают степень доктора математики в Мэрилендском университете за его докторскую диссертацию по рентгеноструктурному анализу.
За годы работы в военно-морской исследовательской лаборатории Хауптман возглавлял отделение математической физики (1965–1967), был директором отдела математики и научной информации (1967–1968), руководителем отделения прикладной математики (1969–1970).
С 1970 по 1972 г. он – заместитель директора по науке медицинского фонда Буффало (штат Нью-Йорк) – небольшого института, поддерживаемого частным финансированием. В 1972 г. ученый становится директором этого института. В 1985 г. Хауптман получил Нобелевскую премию по химии за развитие прямых методов.

Б.Б.АВЕРКИЕВ,
М.Ю.АНТИПИН

Рейтинг@Mail.ru