Методика решения задач
на растворы с применением
правила креста

Многие важные вопросы изучения курса химии по ряду причин исключены из школьной программы. Среди них закон эквивалентов, разные способы выражения концентрации растворов, правило креста и многие другие. Однако на факультативных занятиях, при подготовке ребят к олимпиадам без них не обойтись. Да и в жизни ребятам они пригодятся, особенно тем, кто свяжет будущую профессию с химией (заводские лаборатории, аптеки, научно-исследовательская работа, да и просто химия в быту).
Особенно трудно в этом отношении молодым учителям – у них нет той массы дополнительной литературы, которую накопили старые учителя за десятки лет работы в школе, а что издает современная книгопечатная отрасль промышленности – известно всем. Поэтому предлагаемая методика решения задач на растворы с применением правила креста, думается, хоть сколько-то поможет молодым коллегам в этом деле.

«Конверт Пирсона»

Очень часто в лабораторной практике и при решении олимпиадных задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчет. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «конверта Пирсона», или, что то же самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m₁, а второго – через m₂, то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – ₁, во втором – ₂, а в их смеси – ₃. Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах:

m₁•₁ + m₂•₂ = ₃(m₁ + m₂₎.

Отсюда

m₁(₁ – ₃) = m₂(₃ – ₂),

m₁/m₂ = (₃ – ₂)/(₁ – ₃).

Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешении. При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.

ЗАДАЧА 1

Определите концентрацию раствора, полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.

m₁ = 150 г,
m₂ = 250 г,
₁ = 30%,
₂ = 10%.

Найти:

₃.

Решение

1-й способ (метод пропорций).

Общая масса раствора:

m₃ = m₁ + m₂ = 150 + 250 = 400 г.

Массу вещества в первом растворе находим методом пропорций, исходя из определения: процентная концентрация раствора показывает, сколько граммов растворенного вещества находится в 100 г раствора:

100 г 30%-го р-ра – 30 г в-ва,

150 г 30%-го р-ра – х г в-ва,

х = 150•30/100 = 45 г.

Для второго раствора составляем аналогичную пропорцию:

100 г 10%-го р-ра – 10 г в-ва,

250 г 10%-го р-ра – y г в-ва,

y = 250•10/100 = 25 г.

Следовательно, 400 г нового раствора содержит 45 + 25 = 70 г растворенного вещества.

Теперь можно определить концентрацию нового раствора:

400 г р-ра – 70 г в-ва,

100 г р-ра – z г в-ва,

z = 100•70/400 = 17,5 г, или 17,5%.

2-й способ (алгебраический).

m₁•₁ + m₂•₂ = ₃(m₁ + m₂).

Отсюда

₃ = (m₁•₁ + m₂•₂)/(m₁ + m₂).

В результате находим:

₃ = (150•30 + 250•10)/(150 + 250) = 17,5%.

3-й способ (правило креста).

(₃ – 10)/(30 – ₃) = 150/250.

Тогда

(30 – ₃)•150 = (₃ – 10)•250,

4500 – 150₃ = 250₃ – 2500,

4500 – 2500 = 250₃ – 150₃,

7000 = 400₃, ₃ = 7000/400 = 17,5%.

Ответ. При слиянии взятых растворов получится новый раствор с концентрацией ₃ = 17,5%.

Теперь решим задачи посложнее.

ЗАДАЧА 2

Определите, сколько нужно взять 10%-го раствора соли и 30%-го раствора этой же соли для приготовления 500 г 20%-го раствора.

Дано:

₁ = 10%,
₂ = 30%,
₃ = 20%,
m₃ = 500 г.

Найти:

m₁, m₂.

Решение

Используем правило креста.

Для приготовления 500 г 20%-го раствора соли нужно взять по 10 частей растворов исходных концентраций.
Проверим правильность нашего решения, учитывая, что 1 часть равна 500/(10 + 10) = 25 г.

250 г 10%-го р-ра – х г соли,

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

х = 250•10/100 = 25 г.

250 г 30%-го р-ра – y г соли,

100 г 30%-го р-ра – 30 г соли,

y = 250•30/100 = 75 г.

m(р-ра) = 250 + 250 = 500 г.

m(соли) = 25 + 75 = 100 г.

Отсюда находим ₃:

500 г р-ра – 100 г соли,

100 г р-ра – ₃ г соли,

₃ = 100•100/500 = 20 г, или 20%.

Ответ. Для приготовления 500 г 20%-го раствора нужно взять исходные растворы по 250 г
(m₁ = 250 г, m₂ = 250 г).

ЗАДАЧА 3

Определите, сколько нужно взять растворов соли 60%-й и 10%-й концентраций для приготовления 300 г раствора 25%-й концентрации.

Дано:

₁ = 60%,
₂ = 10%,
₃ = 25%,
₃ = 300 г.

Найти:

m₁, m₂.

Решение

Масса одной части: 300/50 = 6 г.

Тогда

m₁ = 6•15 = 90 г, m₂ = 6•35 = 210 г.

Проверим правильность решения.

100 г 60%-го р-ра – 60 г соли,

90 г 60%-го р-ра – х г соли,

х = 54 г.

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

210 г 30%-го р-ра – y г соли,

y = 21 г.

m(соли) = 54 + 21 = 75 г.

Находим концентрацию нового раствора:

300 г р-ра – 75 г соли,

100 г р-ра – z г соли,

z = 100•75/300 = 25 г, или 25%.

Ответ. m₁ = 90 г, m₂ = 210 г.

Теперь перейдем к еще более сложным задачам.

ЗАДАЧА 4

Определите массу раствора Nа₂СО₃ 10%-й концентрации и массу сухого кристаллогидрата Na₂CO₃•10H₂O, которые нужно взять для приготовления 540 г раствора 15%-й концентрации.

Дано:

₁ = 10%,
₃ = 15%,
m₃ = 540 г.

Найти:

m₁, m₂.

Решение

1-й способ (через систему уравнений с двумя неизвестными).

Определяем массу соли Na₂CO₃ в 540 г 15%-го раствора:

100 г 15%-го р-ра – 15 г соли,

540 г 15%-го р-ра – z г соли,

z = 540•15/100 = 81 г.

Cоставляем систему уравнений:

Находим молярную массу:

Избавляемся от лишних неизвестных:

m₂ = 286y/106;

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

m₁ г 10%-го р-ра – х г соли,

m₁ = 100х/10 = 10х.

Подставляем m₂ и m₁ в систему уравнений:

С учетом того, что х = 81 – y, избавляемся от второго неизвестного:

10(81 – y) + 286y/106 = 540.

Отсюда

y = 270/7,3 = 37 г.

Тогда m₂ = 286y/106 = 2,7•37 100 г – это масса необходимого количества кристаллогидрата Na₂СО₃•10H₂O.
Далее находим: х = 81 – y = 81 – 37 = 44 г – это масса соли из 10%-го раствора.
Находим массу 10%-го раствора:

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

m₁ г 10%-го р-ра – 44 г соли,

m₁ = 100•44/10 = 440 г.

Видно, что так можно решить данную задачу – способ надежный, но, к сожалению, достаточно длинный, громоздкий и сложный. Им успешно могут воспользоваться учащиеся с достаточно развитым логическим мышлением. Для других он будет сложноват.

2-й способ (правило креста).

Допустим, что Na₂СО₃•10H₂O – это «сухой раствор» (ведь он же содержит воду). Тогда найдем его «концентрацию»:

286 г – 106 г соли,

100 г – х г соли,

х = 100•106/286 = 37 г, или 37%.

Применяем правило креста.

Находим массу одной части и массы веществ:

540/27 = 20 г,

m₁ = 20•22 = 440 г, m₂ = 20•5 = 100 г.

Ответ. Для приготовления 540 г раствора Na₂CO₃ 15%-й концентрации необходимо взять 440 г 10%-го раствора и 100 г кристаллогидрата.
Таким образом, применение правила креста удобнее и проще при решении подобных задач. Этот способ более экономичен по времени и менее трудоемок.
Правило креста можно применять и в тех случаях, когда нужно получить раствор меньшей концентрации путем разбавления водой более концентрированного раствора или получить более концентрированный раствор путем добавления к исходному раствору сухой смеси. Рассмотрим это на примерах.

ЗАДАЧА 5

Сколько воды нужно добавить к 250 г раствора соли для понижения его концентрации с 45% до 10%?

Дано:

₁ = 45%,
₃ = 10%,
m₁ = 250 г.

Найти:

m₂.

Решение

Принимаем, что концентрация для добавляемой воды – ₂ = 0%. Используем правило креста.

Определяем массу одной части через первый раствор: 250/10 = 25 г.
Тогда масса необходимой воды равна:

m₂ = 25•35 = 875 г.

Проверим правильность решения.
Масса нового раствора:

m₃ = 250 + 875 = 1125 г.

Масса соли в исходном растворе:

250 г 45%-го р-ра – х г соли,

100 г 45%-го р-ра – 45 г соли,

х = 250•45/100 = 112,5 г.

Находим ₃:

1125 г р-ра – 112,5 г соли,

100 г р-ра – y г соли,

y = 100•112,5/1125 = 10 г, или 10%.

Ответ. m₂ = 875 г.

ЗАДАЧА 6

Сколько сухой соли нужно добавить к 250 г раствора 10%-й концентрации для ее увеличения до 45%?

Дано:

₁ = 10%,
m₁ = 250 г,
₃ = 45%.

Найти:

m(с. с.).

Решение

Принимаем, что сухая соль – это раствор с ₂ = 100%. Используем правило креста.

Определяем массу одной части через первый раствор: 250/55 = 4,5 г.
Определяем массу сухой соли:

m(с. с.) = 4,5•35 = 158 г.

Проверяем правильность решения.
Масса нового раствора:

m₃ = 250 + 158 = 408 г.

Масса соли в исходном растворе:

100 г 10%-го р-ра – 10 г соли,

250 г 10%-го р-ра – х г соли,

х = 250•10/100 = 25 г.

Общая масса соли в новом растворе:

25 + 158 = 183 г.

Концентрация нового раствора:

408 г р-ра – 183 г соли,

100 г р-ра – y г соли,

y = 100•183/408 = 45 г, или 45%.

Ответ. m(с. с.) = 158 г.

Думается, что опытный учитель всегда найдет несколько способов решения любой задачи. Но как учила меня моя первая учительница по химии Клавдия Макаровна в школе № 17 г. Иркутска, так и я стараюсь учить своих учеников: всегда глубоко продумывать и понимать химическую сущность задачи и находить наиболее рациональный способ ее решения, а не просто подгонять под ответ в конце учебника.

А.А.ТРУСКОВ,
учитель химии
магистральнинской средней школы № 2
(пос. Магистральный, Казачинско-Ленский р-н,
Иркутская обл.)